Вихри в XY модели

Как уже отмечалось, в XY модели спины могут вращаться в плоскости. Энергия взаимодействия двух ближайших спинов
E_ij = -J s_is_j = -J cos(j_i - j_j) ,
где фаза i-го спина j_i отсчитывается от горизонтальной оси против часовой стрелки.
Энергия системы минимальна в упрядоченном состоянии, когда все спины параллельны. Поэтому на 3D решетке при низких температурах происходит фазовый переход в упорядоченное состояние с отличной от нуля намагниченностью. Однако на 2D решетке упорядоченное состояние неустойчиво относительно длинноволновых флуктуаций. Т.е. плавное изменение направления спинов на бесконечной решетке накапливается, разрушая дальний порядок при любой конечной температуре.

Кроме длинноволновых флуктуаций на 2D решетке возникают возбуждения с нетривиальной топологией - вихри и антивихри. Центр вихря на рисунке отмечен красным квадратом, а центр антивихря - синим. При обходе вдоль любого замкнутого контура, содержащего вихрь или антивихрь спин поворачивается на +-2p . При движении в направлении возрастания фазы (т.е. если спин вращается против часовой стрелки) вихрь обходится по контуру против часовой стрелки, а антивихрь - по часовой.

Т.к. изменение фазы зависит от разности направлений спинов, то оно не изменится, если мы повернем все спины одновременно на произвольный угол. Поэтому все три верхние конфигурации на Fig.2 - вихри, а нижние - антивихри. Легко убедиться (см. Fig.3), что при обходе сложного контура 123456 изменение фазы равно сумме набегов фаз на контурах 1256 и 2345 .

XY модель дуальна к двумерной кулоновой модели. При этом вихри и антивихри эквивалентны электрическим зарядам с разными знаками. Поэтому вихри и антивихри притягиваются друг к другу и аннигилируют. При периодических граничных условиях изменение фазы при обходе всей области равно нулю, поэтому всегда количество вихрей и антивихрей совпадает (полный заряд равен нулю). Задавая набег фазы на внешней границе 2p N можно фиксировать суммарный заряд решетки N .

Рождение и аннигиляция пары вихрь-антивихрь

При низких температурах все спины стремяться выстроиться (хотя бы локально) в одном направлении. Если тепловая флуктуация приводит к смене направления одного из спинов, то рядом рождается пара вихрь - антивихрь. При обратной флуктуации спина эта пара аннигилирует. При низкой температуре вихрь и антивихрь образуют связанную пару. При T > T_c = 0.893 происходит распад (диссоциация) пар - фазовый переход Костерлица-Таулесса.

На 3D решетке вихри и антивихри можно отображать стрелочками. Их направление определяется направлением обхода элементарного контура по правилу буравчика (при движении вдоль возрастания фазы). Отдельные вихри собираются в вихревые нити и кольца. Из рисунка следует, что флуктуация переворота спина приводит к рождению вихревого кольца. Т.к. противоположные стороны кольца (т.е. вихрь и антивихрь на соответствующей плоскости) притягиваются, то оно стремиться схлопнуться.

Вы можете поэкспериментировать с 2D вихрями и антивихрями с помощью копии аплета Rongfeng Sun (я только сильнее выделил вихри и антивихри).

Я благодарен А.Самохвалову и В.Курину за полезные обсуждения.

Содержание Антиферромагнетики Возбуждения в одномерной цепочке спинов
изменено 3 янв 2004