Метод ренорм-группы

Универсальность протекающего кластера

Слева внизу вы видите протекание по узлам, а справа континнуальное протекание в случайном потенциале при p = pc .
Перебрав несколько случайных реализаций вы можете убедиться, что протекающие (бесконечные!) кластеры слева и справа очень похожи и действительно не зависят от структуры решетки на малых масштабах. Это приводит к универсальности поведения различных систем (и критических индексов) на плоскости вблизи точки фазового перехода.

Перенормировка

Идею изучения некоторых физических в окрестности критических точек на различных масштабах длины (метод ренорм-группы) предложил в 1971 г. К.Ж.Вильсон. Проще всего познакомиться с этим методом на примере задач перколяции. Для этого сожмем "бесконечную" решетку (например квадратную решетку налево вверху) в b раз. Чтобы можно было сравнивать изображения на старой и новой решетках, размер ячеек сжатой решетки нужно увеличить в b раз, т.е. нужно провести "огрубление" кластеров новой решетки.
renormalization На рисунке слева показана процедура "огрубления" протекания при b = 2 , т.е. группировки ячеек в блоке 2х2 и замене их единственной ячейкой. Каждая из 7 протекательных конфигураций заменяется на большой черный квадрат, остальные конфигурации - на белый.
R(p) Если исходные ячейки были заняты с вероятностью p, то вероятность протекания блока в данном случае [1]
    p' = R(p) = p4 +4p3(1-p) + 2p2(1-p)2 .

При p < pc   p' < p поэтому ниже вы видите, что последовательное применение преобразования перенормировки при p = 0.5 < pc приводит к исчезновению черных квадратов после 3 итераций (т.е. p' -> 0 ). Отметим, что перенормированные решетки внизу не сжимаются, чтобы было удобнее следить за огрублением. Наоборот при p > pc останутся только черные квадраты (p' -> 1 ).

r0 r1 r2
Наконец при p = pc предполагается, что в системе существуют все масштабы длины и изменение масштаба не играет роли (т.е. картинка будет выглядеть одинаково независимо от масштабного преобразования). Это соответствует неподвижной точке уравнения p* = R(p* ) при p* = 0.61803 , что действительно очень близко к критическому значению pc = 0.5927 .

Точность полученных результатов увеличивается с ростом b. Однако, поскольку имеется 2b2 возможных конфигураций для клетки размером bxb , число которых быстро растет с ростом b, для b > 5 используется метод Монте-Карло.

Критический показатель n

Разлагая R(p) в ряд Тейлора получим связь между p и p' вблизи от неподвижной точки p*
    p' - p* = R(p) - R(p*) = dR/dp|p = p* (p - p*) = l(p - p*)     (*)
где l = dR/dp|p = p* .
Для вычисления критического показателя n вспомним, что на ренормированной решетке все длины уменьшаются в b раз. Следовательно длина связности l' = l/b . Поскольку
    l(p) ~ |p - pc|-n
и pc соответствует p* , то из соотношения для длин следует
    |p' - p*|-n =|p - pc|-n /b .
Подставляя (*), после несложных вычислений получим
    n = log(b) / log(l) .
В рассмотренном выше случае для протекания по узлам квадратной решетки b = 2 , l = 1.5279 и
    n = log(2) / log(1.5279) = 1.635...
что достаточно близко к точному значению n = 4/3 для двумерного случая.

[1] Х.Гулд, Я.Тобочник "Компьютерное моделирование в физике" Мир, 1990 (т.2, главы 12,16)


Содержание     Белый, коррелированный и фрактальный шум
обновлено 16 янв 2004