"Все течет..."     водопроводчик

Геометрический фазовый переход

Протекание по узлам квадратной решетки

Чтобы получить изображение внизу каждая ячейка квадратной LxL решетки "засевается" с вероятностью p "проводящими" (цветными) квадратами [1,2]. Если две проводящие ячейки имеют общую сторону, то они образуют кластер. С помощью алгоритма Хошена - Копельмана находятся все кластеры и окрашиваются в разные цвета (два касающихся, но не соединенных сторонами, кластера могут иметь один цвет случайно, т.к. для раскраски используется только 18 различных цветов). Первый соединяющий кластер (протекающий с верха решетки до ее низа) окрашивается в черный цвет.
Если псевдо-случайные числа достаточно хорошие, то все ячейки независимы. Однако, ограниченность решетки играет важную роль, когда мы ищем кластеры, т.к. последние могут быть разрезаны границами. Это особенно существенно, когда размеры кластеров становятся сравнимыми с размером решетки L. Чтобы уменьшить влияние границ на конечных решетках используют периодические граничные условия, т.е. изучают протекание на цилиндре (когда соеденены левая и правая границы решетки) или на торе (если соеденены также верхняя и нижняя стороны).

Управление: Нажмите на кнопку мыши, чтобы получить новую реализацию случайных кластеров. Нажмите "Enter", чтобы ввести новое значение p. См. также квадратная решетка 640x640.

Фазовый переход

Очевидно, что при p << 1 все кластеры невелики и изолированы. С ростом p отдельные кластеры сливаются и их средний размер увеличивается. В точке pc = 0.5927 возникает бесконечный кластер, образующий случайную сетку и пронизывающий все пространство. Поэтому при p = pc вероятность протекания W на бесконечной решетке скачком обращается в 1. С ростом p бесконечный кластер, постепенно присоединяя конечные кластеры из очень редкого становится все более плотным.
functions Из рисунка видно, что вероятность протекания W и плотность бесконечного кластера P имеют особенности при p = pc (графики построены для решетки с L = 640 ).

Переход из состояния без перколяционного кластера к состоянию с одним бесконечным соединяющим кластероя является фазовым переходом. Критическая точка pc является точкой сингулярности, т.е. гладкие функции ведут себя сингулярно в ней (при стремлении размера решетки к бесконечности).

Поведение P(p) с ростом p напоминает поведение параметра порядка фазового перехода второго рода при понижении температуры (например спонтанной намагниченности в ферромагнетике). Удивительный факт, что модели Изинга, Потса и протекание могут рассматриваться в рамках единой теории, был открыт в начале 1960х годов Фортуином и Кастелэйном.

Одиночный 2D кластер

Одиночный 2D кластер получается при случайном "засеивании" его окрестности.

Одиночный 3D кластер

Для простой кубической решетки порог протекания pc = 0.312 .
Для любой решетки при p = pc вы получите протекающий (большой) кластер приблизительно в половине из случайных реализаций.

Управление:
Кластер вращается с помощью мыши.
Потащите мышку с нажатой клавишей "Shift", чтобы увеличить кластер.
203 решетка


Приложение. Алгоритм маркировки кластеров Хошена - Копельмана

Мы присваиваем занятым ячейкам кластерные метки, двигаясь по строкам из нижнего левого угла направо и вверх. Метка "наследуется" от ближайшего левого или нижнего соседа. Если эти ячейки пустые, то создается новая кластерная метка. Если в одной ячейке встречаются две различные кластерные метки, то ей присваивается "правильная" метка. "Правильные" метки определяются с помощью массива np(i). Первоначально все элементы np(i) = 0. Если в некоторой ячейке две метки, например 3 и 4, связаны, то мы полагаем np(4) = 3. Ненулевой элемент массива показывает, что метка 4 связана с 3-ей, "неправильная" и вместо нее следует использовать "правильную" метку 3. В общем случае "правильные" метки определяются с помощью рекурсивной процедуры (см. подробное объяснение в [2]).

[1] А.Л.Эфрос "Физика и геометрия беспорядка" Библиотечка "Квант" в.19
[2] Х.Гулд, Я.Тобочник "Компьютерное моделирование в физике" Мир, 1990 (т.2, главы 12,16)


Содержание     Метастабильные состояния в ферромагнетиках     Критические показатели характеристических функций
обновлена 22 дек 2001