Белый, коррелированный и фрактальный шум

Коррелированный случайный шум V(r) может быть получен сглаживанием белого шума f(r)
    V(r) = int K(r-r') f(r') dr'.     (*)
f(r), V(r) - случайные функция с корреляторами
    <f(r) f(r')> = d(r-r') ,
    <V(r)V(r')>= int K(r-s)K(r'-s) ds .
На апплете внизу вы видите одномерную дискретную реализацию белого и коррелированного шумов с равномерным шагом по x.
K Независимые случайные точки fi с равномерным распределением на интервале (-1, 1) образуют белый шум (голубая кривая). Коррелированные случайные точки Vi (красная кривая) получены усреднением белого шума в сфере с радиусом Rc , т.е. используется интегральное ядро Ko
    Vi = Sj= -Rc,Rc   fi+j

Белый и коррелированный шумы.
Коррелированный шум с Rc = 32 очень похож на фрактальный шум с m = 1.5 (см. последний апплет). Чтобы получить гладкий коррелированный шум следует использовать гладкое интегральное ядро K(r). Функция Гаусса
    KG(x) = exp[-(x/Rc)2]
используется в следующем приложении

Гладкий коррелированный шум.

2D
Фрактальный шум. Нажмите Enter чтобы ввести новое значение m.

Чтобы получить 2D фрактальный шум (или "горный ландшафт"), возьмите резиновую нить (см. Fig.1) и сместите случайным образом ее центральную точку. Далее повторите этот процесс рекурсивно к каждому из двух новых сегментов. Случайное смещение уменьшается на величину m при каждой новой итерации (обычно используется m = 2).
Fourier Разлагая V(r), K(r), f(r) в ряд Фурье
    g(k) = int g(r) eikr dr ,
получим для V(k)
    V(k) = K(k) f(k) .
Т.о. усреднение в (*) означает пропускание белого шума через фильтр с полосой пропускания K(k). Полосы пропускания для двух использованных фильтров (для Rc = 1) приведены на Fig.3
    KG(k) ~ exp[-(Rck)2],     Ko ~ sin(Rck)/k.
Мы получаем сильно изрезанную зависимость Vi для ядра Ko потому, что у этого преобразования широкая полоса пропускания, спадающая при больших k только как 1/k.
Мы можем применить фильтрацию (*) также и к фрактальному шуму, чтобы получить более гладкий "ландшафт".

И, наконец, двумерный коррелированный случайный потенциал. Чтобы получить гладкий потенциал использовано двумерное гауссово ядро.

Протекание в случайном потенциальном рельефе
Вы можете повернуть 3D картинку с помощью мыши ("потащите" мышку с "shift", чтобы увеличить/уменьшить масштаб). Белая линяя в голубой полосе справа показывает положение среднего потенциала <V>. Желтая линяя соответствует энергии Ферми eF . Потащите эту линию мышкой, чтобы изменить значение eF . См. также 3D Mountains и Hidden Surface Removal Algorithms


Содержание     Континуальное протекание
updated 10 марта 2002