Фазовые переходы в ферромагнетиках

Ферромагнетики - удивительно простые системы в которых наблюдаются фазовые переходы различных типов.
Рассмотрим решетку в узлах которой расположены взаимодействующие между собой спины si (магнитные моменты). Энергия взаимодействия пары спинов (обычно учитывается взаимодействие только ближайших соседей)
    Eij = -J (si sj ) .
Полная энергия E и намагниченность M данной конфигурации спинов {s1, s2, ... sn} могут быть найдены суммированием по всей решетке. В модели Гейзенберга каждый спин может принимать произвольное направление. Если спин вращается в плоскости - это XY модель.
В модели Изинга каждый спин может принимать только два выделенных направления si = +-1 (вверх или вниз). Поскольку si может принимать 2 значения, у системы из n спинов есть 2n различных конфигураций. Ниже приведены 24 = 16 возможных конфигураций спинов и соответствующие энергии для решетки 2x2
 E = -4J         E = 4J
+ +   - -       + -   - +
+ +   - -       - +   + -

 E = 0
- +   + -   + +   + +    + -   - +   - -   - -    - -   + -   + +   - +
+ +   + +   + -   - +    - -   - -   - +   + -    + +   + -   - -   - +
Для ферромагнетика константа обменного взаимодействия J > 0 и энергия минимальна для спинов, направленных в одну сторону. Система вырождена, т.к. одной энергии соответствует несколько различных конфигураций спинов. Энтропия системы S(E) растет с увеличением степени вырождения состояний с энергией E. Энтропия минимальна в упорядоченном состоянии (при минимальной энергии) и быстро растет с ростом энергии.
Предполагается, что спины взаимодействует также с термостатом с температурой T. В термодинамическом равновесии система стремится к минимуму F = E - T S. Поэтому при низкой температуре она переходит в состояние с минимальной энергией (все спины направлены в одну сторону). Т.о. взаимодействие спинов приводит к их упорядочиванию и появлению макроскопической намагниченности M (см. Fig.1). При высокой температуре системе выгоднее уменьшить F за счет увеличения ее энтропии (беспорядка). Тепловые флуктуации разрушают упорядочивание и намагниченность системы обращается в ноль.
В двумерном модели Изинга при критической температуре Tc = 2.269 происходит фазовый переход из неупорядоченного в упорядоченное ферромагнитное состояние.

Двумерная модель ферромагнетика Изинга

Пример квадратной решетки 20x20 приведен ниже. Спины с различной ориентацией отображаются квадратами черного или белого цвета. В правой части окна (и в строке состояния браузера) вы видите величину намагниченности M (красная кривая) и энергии E (синяя кривая). Изменяя температуру вы можете наблюдать тепловые флуктуации, фазовый переход, плавление или формирование кластеров упорядоченной фазы.

Управление Щелкните мышкой в решетку, чтобы получить новую конфигурацию спинов. Потащите мышкой "градусник" направо (черная черта соответствует температуре фазового перехода) или нажмите "Enter", чтобы ввести новое значение температуры T из текстового поля. Кнопка "Print" посылает усредненные по "марковскому" времени величины T, M, χ, E и C в консоль Java, а "Clear" очищает усреднение. Выберите 200х200 решетку для 1ГГц ПК. См.также 640x640 applet window.

Распределение Гиббса

В состоянии термодинамического равновесия вероятность конфигурации спинов системы {s1, s2, ... sn} определяется функцией распределения Гиббса
    w(s1, ... sn) = 1/Z exp[ -E(s1, ... sn)/T ],     (*)
где Z - нормировочный коэффициент, называемый статистической суммой и определяемый из условия
    s1 s2 ... ∑ sn w(s1,...sn) = 1,     Z = ∑ s1 s2 ... ∑ sn exp[ -E(s1,...sn)/T ] .
Тогда, например, усредненная по функции распределения Гиббса энергия системы
    <E>G = ∑ s1 s2 ... ∑ sn E(s1, ... sn) w(s1, ... sn) =
    1/Z ∑ s1 s2 ... ∑sn E(s1, ... sn) exp[ -E(s1, ... sn)/T]
.
В 1944г. Л.Онзагер нашел точное решение для двумерной модели Изинга. В принципе, среднее для любого конечного n может быть найдено перебором всех спиновых конфигураций, но для макроскопических систем (например при n = 100) это невозможно для любой ЭВМ. Однако вклад различных слагаемых в сумму не равнозначен. Из (*) следует, что вероятность нахождения в состоянии с энергией E
    w(E) ~ n(E) exp(-E/T),
где n(E) - число конфигураций с энергией E. Последнее выражение можно переписать
    w(E) ~ exp[S(E)-E/T],
где S(E) = ln n(E) - энтропия состояний с данной энергией. Поэтому в равновесии среди всех состояний системы чаще будут встречаться конфигурации, для которых велики w(E) и S(E)-E/T.
Содержание   »Метод Монте-Карло
изменено 26 декабря 2001