Топологические солитоны в Гейзенберовском ферромагнетике

Теория n-поля

anti-instanton
В модели Гейзенберга спин является трехмерным вектором n = (n1, n2, n3) единичной длины n2 = 1 . Рассмотрим поле n(x,y) на двумерной плоскости. В непрерывном пределе энергия системы
    E = 1/2 dx dy (nx· nx + ny· ny ) ,     nx= ∂n/∂x .
Чтобы полная энергия системы оставалась конечной необходимо, чтобы n(∞) → no . Тривиальному минимуму E = 0 соответствует поле n(x,y) = no .
stereograpic При помощи стереографической проекции каждой точке сферы n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) можно поставить в соответствие точку на плоскости w = (u, v)
    w = u + i v = (n1 + i n2)/(1 - n3) = ctg(θ/2) e.
Отметим, что все бесконечно удаленные точки плоскости отображаются в одну точку - "северный" полюс сферы. Используя соотношения
    n1 = 2u/(1 + u2 + v2),   n2 = 2v/(1 + u2 + v2),   n3 = 1 - 2/(1 + u2 + v2),
получим для энергии (см. также непрерывный предел)
    E = 2 dx dy (ux2 + vx2 + uy2 + vy2) / (1 + u 2 + v 2)2 =
    2 dx dy [(ux - vy )2 + (uy + vx )2 + 2(ux vy - uy vx )] / (1 + u 2 + v 2)2.
    (*)
Переходом к сферическим координатам с помощью выражений u = ctg θ/2 cos φ , v = ctg θ/2 sin φ третье слагаемое в квадратных скобках сводится к топологическому заряду
    sin θ (φxθy - φyθx) dx dy = sin θ dφ dθ = dΩ = 4π Q .
Поэтому из (*) следует, что
    E ≥ 4π Q
и минимум достигается при выполнении условии Коши-Римана
    ux - vy = 0,     uy + vx = 0 ,
т.е. когда w(z) = u(x,y) + iv(x,y) является аналитической функцией z = x + iy.

Инстантоны

Если положить на бесконечности w(∞) → 1 , тогда n-инстантонное и n-антиинстантонное решения
    w = ∏i=1,n (z - ai )/(z - bi )   и   w = ∏i=1,n (z* - ai )/(z* - bi ) ,
где |ai| и αi = Arg(ai ) определяют радиус и фазу i-го инстантона, а комплексное число bi его положение. Одноинстантонное решение
    w = u + i v = 1 - e / z = ctg(θ/2) e ,
Т.к. E не изменяется при масштабных преобразованиях x' = ax , то энергия инстантона не зависит от радиуса. Поэтому использовано |a| = 1 и b = (0 + 0i) . Антиинстантон отличается заменой z на сопряженное z* .

3D VRML модели полей (смотри Why VRML?): инстантон с α=0, антиинстантоны с α=0, α=1.5, "чупа-чупс". 3D модели полезны для общего ознакомления, но плоские картинки кажется мне более информативными. Приведенный ниже Java аплет строит вид сверху на векторное поле антиинстантона с фазой α = 0 . По краям приведен вид сбоку на сечения вдоль горизонтальной и вертикальной серых линий. Красным цветом изображены вектора, которые направлены на наблюдателя, синие вектора направлены от него. w(∞) → 1 что соответствует направлению поля на бесконечности прямо на нас. Направлению строго от нас соответствует w(zo) = -1 . Откуда следует, что "полюс" (синяя точка на картинке) расположен в zo = e/2 . Наконец для векторов лежащих строго в плоскости рисунка Re(w) = 0 , что соответствует окружности с радиусом 1/2 и центром в полюсе, проходящей через начало координат. Внутри окружности стрелки (голубые) направлены он нас, а снаружи на нас.

Управление: Щелкните изображение мышкой с Alt (Ctrl) чтобы растянуть (сжать) картинку в 2 раза. Чтобы сдвинуть перекрещивающиеся серые линии потяните их мышкой. Координаты пересечения видны в строке состояния (внизу окна). Нажмите Enter чтобы ввести новое значение фазы (поле a).

Отображения сферы на сферу

При помощи стереографической проекции плоскость (x1, x2) можно "свернуть" в сферу Sx2 (при этом на бесконечности все спины направлены одинаково т.к. все бесконечно удаленные точки плоскости переводятся в "северный" полюс сферы). Т.о. n-поле задает отображение сферы на сферу Sx2 → Sn2 . Подобно отображениям окружности на окружность, неэквивалентные отображения отличаются топологическим зарядом, т.е. тем сколько раз сфера Sx2 наматывается на сферу Sn2.
charge Для трех близких векторов n(x), n(x+dx1) и n(x+dx2) площадь "занимаемая" на сфере Sn2 равна величине телесного угла образованного этими векторами. Для бесконечно малых dx1, dx2 телесный угол пропорционален объему, заключенному между этими векторами (n ·[∂1n , ∂2n]) dx1 dx2 .
Поэтому полный топологический заряд равен
    Q = 1/ dΩ(x) = 1/ sin θ dθ(x)dφ(x) = 1/ d2x εμν(n [∂μn, ∂μn]) .

Что прячет ежик?

Отображения Sx3 → Sn2 классифицируются инвариантом Хопфа. Наличие таких нетривиальных отображений приводит к локализованным топологическим солитонам в трехмерной модели Гейзенберга (для которых n(∞) → no ).

Но если (по аналогии с вихрями) область пространства с Гейзенберговским ферромагнетиком окружить сферой и задать на ней ненулевой топологический заряд (простейшая ситуация, когда все стрелки торчат наружу по радиусу - т.е. "ежик"), то:
Что будет находиться внутри - монополь?
Чему они будут дуальны, если поле принимает значения на сфере, а не в U(1)?
Будут ли притягиваться Q = 1 и Q = -1 и как? :) ...

Я благодарен Д.Е.Бурланкову за полезные обсуждения.

[1] А.А.Белавин, А.М.Поляков Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. Письма в ЖЭТФ, 22(10), 503 (1975).
[2] А.М.Переломов Решения типа инстантонов в киральных моделях. УФН 134, 577, (1981)


Содержание     Возбуждения в одномерной цепочке спинов     Зоопарк "ежиков"
изменено 7 июня 2004