Топологические солитоны в Гейзенберовском ферромагнетике

Теория n-поля

В модели Гейзенберга спин является трехмерным вектором n = (n₁, n₂, n₃) единичной длины n² = 1 . Рассмотрим поле n(x,y) на двумерной плоскости. В непрерывном пределе энергия системы
E = 1/2 ∫ dx dy (n_x· n_x + n_y· n_y ) , n_x= ∂n/∂x .
Чтобы полная энергия системы оставалась конечной необходимо, чтобы n(∞) → n_o . Тривиальному минимуму E = 0 соответствует поле n(x,y) = n_o .

При помощи стереографической проекции каждой точке сферы n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) можно поставить в соответствие точку на плоскости w = (u, v)
w = u + i v = (n₁ + i n₂)/(1 - n₃) = ctg(θ/2) e^iφ.
Отметим, что все бесконечно удаленные точки плоскости отображаются в одну точку - "северный" полюс сферы. Используя соотношения

n₁ = 2u/(1 + u² + v²), n₂ = 2v/(1 + u² + v²), n₃ = 1 - 2/(1 + u² + v²),
получим для энергии (см. также непрерывный предел)
E = 2 ∫ dx dy (u_x² + v_x² + u_y² + v_y²) / (1 + u² + v²)² =
2 ∫ dx dy [(u_x - v_y )² + (u_y + v_x )² + 2(u_x v_y - u_y v_x )] / (1 + u² + v²)². (*)
Переходом к сферическим координатам с помощью выражений u = ctg θ/2 cos φ , v = ctg θ/2 sin φ третье слагаемое в квадратных скобках сводится к топологическому заряду
∫ sin θ (φ_xθ_y - φ_yθ_x) dx dy = ∫ sin θ dφ dθ = ∫ dΩ = 4π Q .
Поэтому из (*) следует, что
E ≥ 4π Q
и минимум достигается при выполнении условии Коши-Римана
u_x - v_y = 0, u_y + v_x = 0 ,
т.е. когда w(z) = u(x,y) + iv(x,y) является аналитической функцией z = x + iy.

Инстантоны

Если положить на бесконечности w(∞) → 1 , тогда n-инстантонное и n-антиинстантонное решения
w = ∏_i=1,n (z - a_i )/(z - b_i ) и w = ∏_i=1,n (z* - a_i )/(z* - b_i ) ,
где |a_i| и α_i = Arg(a_i ) определяют радиус и фазу i-го инстантона, а комплексное число b_i его положение. Одноинстантонное решение
w = u + i v = 1 - e^iα / z = ctg(θ/2) e^iφ ,
Т.к. E не изменяется при масштабных преобразованиях x' = ax , то энергия инстантона не зависит от радиуса. Поэтому использовано |a| = 1 и b = (0 + 0i) . Антиинстантон отличается заменой z на сопряженное z* .

3D VRML модели полей (смотри Why VRML?): инстантон с α=0, антиинстантоны с α=0, α=1.5, "чупа-чупс". 3D модели полезны для общего ознакомления, но плоские картинки кажется мне более информативными. Приведенный ниже Java аплет строит вид сверху на векторное поле антиинстантона с фазой α = 0 . По краям приведен вид сбоку на сечения вдоль горизонтальной и вертикальной серых линий. Красным цветом изображены вектора, которые направлены на наблюдателя, синие вектора направлены от него. w(∞) → 1 что соответствует направлению поля на бесконечности прямо на нас. Направлению строго от нас соответствует w(z_o) = -1 . Откуда следует, что "полюс" (синяя точка на картинке) расположен в z_o = e^iα/2 . Наконец для векторов лежащих строго в плоскости рисунка Re(w) = 0 , что соответствует окружности с радиусом 1/2 и центром в полюсе, проходящей через начало координат. Внутри окружности стрелки (голубые) направлены он нас, а снаружи на нас.

Управление: Щелкните изображение мышкой с Alt (Ctrl) чтобы растянуть (сжать) картинку в 2 раза. Чтобы сдвинуть перекрещивающиеся серые линии потяните их мышкой. Координаты пересечения видны в строке состояния (внизу окна). Нажмите Enter чтобы ввести новое значение фазы (поле a).

Отображения сферы на сферу

При помощи стереографической проекции плоскость (x₁, x₂) можно "свернуть" в сферу S_x² (при этом на бесконечности все спины направлены одинаково т.к. все бесконечно удаленные точки плоскости переводятся в "северный" полюс сферы). Т.о. n-поле задает отображение сферы на сферу S_x² → S_n² . Подобно отображениям окружности на окружность, неэквивалентные отображения отличаются топологическим зарядом, т.е. тем сколько раз сфера S_x² наматывается на сферу S_n².

Для трех близких векторов n(x), n(x+dx₁) и n(x+dx₂) площадь "занимаемая" на сфере S_n² равна величине телесного угла dΩ образованного этими векторами. Для бесконечно малых dx₁, dx₂ телесный угол пропорционален объему, заключенному между этими векторами (n ·[∂₁n , ∂₂n]) dx₁ dx₂ .

Поэтому полный топологический заряд равен
Q = ¹/_4π ∫ dΩ(x) = ¹/_4π ∫ sin θ dθ(x)dφ(x) = ¹/_8π ∫ d²x ε_μν(n [∂_μn, ∂_μn]) .

Что прячет ежик?

Отображения S_x³ → S_n² классифицируются инвариантом Хопфа. Наличие таких нетривиальных отображений приводит к локализованным топологическим солитонам в трехмерной модели Гейзенберга (для которых n(∞) → n_o ).

Но если (по аналогии с вихрями) область пространства с Гейзенберговским ферромагнетиком окружить сферой и задать на ней ненулевой топологический заряд (простейшая ситуация, когда все стрелки торчат наружу по радиусу - т.е. "ежик"), то:
Что будет находиться внутри - монополь?
Чему они будут дуальны, если поле принимает значения на сфере, а не в U(1)?
Будут ли притягиваться Q = 1 и Q = -1 и как? :) ...

Я благодарен Д.Е.Бурланкову за полезные обсуждения.

[1] А.А.Белавин, А.М.Поляков Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. Письма в ЖЭТФ, 22(10), 503 (1975).
[2] А.М.Переломов Решения типа инстантонов в киральных моделях. УФН 134, 577, (1981)

Содержание Возбуждения в одномерной цепочке спинов Зоопарк "ежиков"
изменено 7 июня 2004