Критические показатели характеристических функций

Распределение кластеров по размерам

При малых p все кластеры невелики и изолированы. С ростом p они сливаются и их средний размер растет (см. Fig.1). При p > pc в "порах" бесконечного кластера размещаются конечные изолированные кластеры. Возрастание плотности бесконечного кластера с ростом p означает, что он, постепенно присоединяя конечные кластеры из очень редкого становится все более плотным. Средний размер его "пор" убывает. Соответственно убывает средний размер изолированных конечных кластеров (см. Fig.2). В субкритической p < pc и критической |p - pc| << 1 областях функция ns при малых s убывает по степенному закону, а при s больших некоторого критического значения sс - экспоненциально. Для p = pc убывание ns более медленное. Это особое поведение связывают с наличием в системе при pc всех масштабов длины.
subcritical supercritical
На рисунках приведены зависимости ns - среднего числа конечных кластеров из s узлов, приходящихся на один узел решетки, от s при разных значениях p.

В правой части аплета строится усредненная зависимость ns от s = 1,2,...200. ns растет вправо, а размер кластера s увеличивается вниз. P,S и другие параметры выводятся в нижней строке браузера (Status bar). Нажмите на кнопку мыши, чтобы получить новую реализацию случайных кластеров и усреднить ns по ней (+ <Alt> чтобы провести подряд 100 усреднений). Нажмите "Enter", чтобы ввести новое значение p. Кнопка "Clear" очищает усреднения. "Print" посылает данные в консоль Java (см. также квадратная решетка 640x640).

Характеристические функции P и S(p)

functions На рисунке приведены зависимости W,P,S(p) построенные с помощью предыдущего аплета при L = 640 и 100 усреднениях.
W(p) - вероятность появления соединяющего кластера.
P(p) - плотность соединяющего кластера или вероятность того, что некоторый занятый узел, принадлежит соединяющему кластеру
    P(p) = (число узлов в соединяющем кластере) / (полное число занятых узлов) .
Т.к. sns есть доля узлов решетки, принадлежащих конечным кластерам с размером s, то S(p) - среднее число узлов конечного кластера
    S(p) = Ss s sns / Ss sns = Si si2 / Si si ,
где si размер i-го кластера. Это взвешенное среднее, т.к. усредняется по узлам число узлов в кластере, к которому принадлежит данный узел. В критической области |p - pc| << 1 величина S(p) обращается в бесконечность S(p) ~ |p - pc|-g. Однако простое среднее Ss sns / Ss ns остается конечным при p -> pc и основная часть занятых узлов находится в кластерах с s ~ 1 (см. Fig.1,2). Расходимость величины S(p) при p -> pc отражает увеличение числа узлов в критических кластерах, т.е. удалениие границы экспоненциального спада.

Критические показатели

Из численных экспериментов следует, что в критической области |p - pc| << 1 характеристические функци протекания ведут себя степенным образом
    P(p) ~ (p-pc)b,     S(p) ~ |p-pc|-g,     l(p) ~ |p-pc|-n,
где b, g, n - критические показатели, l(p) - характерная средняя длина кластера или длина связности.
Порог протекания сильно меняется от решетки к решетке. Однако критические показатели не зависят от деталей геометрии. Они одинаковы для всех решеток одинаковой размерности D. Так для двумерных решеток b = 5/36 = 0.14 , g = 43/18 = 2.4 , n = 4/3 . Фрактальная размерность перколяционного кластера df в D-мерном пространстве выражается через критические индексы
    df = D - b/n .
Для p близких к pc длина связности l(p) сравнивается с размером решетки L и поведение системы отличается от поведения бесконечной системы. В частности на конечной решетке не могут происходить истинные фазовые переходы, описываемые расходящимися функциями. Вместо этого l и S достигают конечного максимума.
Содержание     Геометрический фазовый переход     Континуальное протекание
обновлено 14 ноября 2001