Континуальное протекание

Проводимость двумерного электронного газа

2D gaz В двумерном слое у поверхности полупроводника (например в МДП структуре на кремнии или GaAs/AlGaAs HEMT) движение электрона вдоль направления перпендикулярном к слою (ось z) квантуется. Поэтому энергия электрона равна
    e = ek + (Px2 + Py2)/2m*
где ek - энергия k-ого квантового состояния, Px,y - компоненты импульса вдоль слоя, m* - эффективная масса электрона.
В вырожденном полупроводнике n-типа, при низких температурах T << (eF -eo) , состояния с энергией меньшей энергии Ферми eF заполнены электронами, а состояния с e > eF свободны.
Если длина волны Де-Бройля электрона l много меньше, чем характерный масштаб флуктуаций потенциала V(x,y), обусловленных неоднородностью распределения дефектов и примесей вдоль слоя, то движение электрона можно описывать квазиклассически. Флуктуации потенциала приводят к флуктуациям eo(x,y). Поэтому вся плоскость (x,y) делится на заполненные электронами проводящие области с eF > eo и непроводящие области с eF < eo . При малых значениях eF заполняются только самые глубокие впадины. Они изолированны и ток в структуре не течет. Структура будет проводить ток, только если при заданной eF (т.е. при заданной средней поверхностной концентрации электронов) существует непрерывный перколяционный кластер. Ниже мы убедимся, что порог протекания совпадает с <V>, когда размер системы стремится к бесконечности.
Протекание в случайном потенциальном рельефе

Вы можете повернуть 3D картинку с помощью мыши ("потащите" мышку с "shift", чтобы увеличить/уменьшить масштаб). Белая линяя в голубой полосе справа показывает положение среднего потенциала <V>. Желтая линяя соответствует энергии Ферми eF . Потащите эту линию мышкой, чтобы изменить значение eF . Определение радиуса корреляции случайного потенциала Rc будет дано позже.

"топографическая карта" эквипотенциальных областей

Потащите мышкой черную полосу (справа внизу), чтобы изменить eF . Область протекания тока отмечена белым (или черным, если включено "burn") цветом. Включив "burn" вы можете убедиться, что порог протекания совпадает с <V>.

Порог протекания в случайном потенциале

Выберем некоторое значение V'. Для удобства "окрасим" области с V(r) < V' в белый, а остальное пространство в черный цвет (к сожалению в аплете цвета выбраны иначе :) Уровнем протекания по белому называется значение V' = Vc при котором образуется бесконечный "соединяющий" белый кластер. Доля белого пространства pc аналогична порогу протекания по узлам в решеточной задаче.
saddle На плоскости всегда есть протекание по белому или черному. (Исключение составляет точка перевала, изображенная на Fig.2, но бесконечно малое изменение V' приводит к протеканию по белому или черному.) Поэтому из симметрии задачи относительно белого и черного, для случайного потенциала симметричного относительно <V>, следует, что Vc = <V> и pc = 1/2. (В трехмерном пространстве каналы протекания по белому и черному могут быть развязаны, поэтому, согласно расчетам методом Монте-Карло pc = 0.16.)
Очевидно, что если радиус корреляции случайного потенциала Rc = 0, то соседние точки пространства некоррелированы и мы возвращаемся к задаче о протекании на узлах (напомним, что для квадратной решетки pc = 0.5927). При увеличении Rc мы должны постепенно перейти от pc = 0.5927 к pc = 0.5.

Андерсоновская локализация

Пролетая над потенциальным барьером, электрон испытывает квантовомеханическое отражение. Квантовая поправка к проводимости приводит к уменьнению тока. Эта поправка растет с увеличением длины релаксации фазы электрона при понижении температуры. В соответствии с "масштабной" (scaling) теорией локализации (Abrahams, Anderson, Licciardello, Ramakrishnan, 1979) это приводит к Андерсоновской локализации волновой функции двумерного электрона при очень низких температурах.

Краткий обзор теории проводимости и локализации электронов в случайном потенциале приведен в книге А.А.Абрикосова "Основы теории металлов" (1987). См. также E.Abrahams, S.Kravchenko, M.Sarachik "Metallic behavior and related phenomena in two dimentions" Rev.Mod.Phys. 73,251,(2001)

Квантовый эффект Холла и протекание

К сожалению я не знаю, как учитывать кулоновское взаимодействие электронов в задаче о проводимости полупроводникового слоя. По этой же причине меня не вполне устраивает подобное обьяснение кантового эффекта Холла. Пока вы можете посмотреть литературу в Integer Quantum Hall effect.
Содержание     Критические индексы     Белый, коррелированный и фрактальный шум
обновлено 10 марта 2002