Возбуждения в одномерной цепочке спинов

XY модель

Начнем с очень простого примера одномерной цепочки спинов, которые могут вращаться в одной плоскости. Энергия всей цепочки
    E = -J ∑i=1,N (si si-1) = -J ∑i=1,N cos(φi - φi-1) ,
где φi фаза i-го спина и si = (cos φi , sin φi ). Если фаза спинов изменяется медленно, то δφ мало и cos можно разложить, оставив только слагаемое второго порядка малости -δφ2/2 . Переходя также от дискретного i к непрерывной переменной x получим (см. непрерывный предел)
    E = L(φ') dx = 1/2 (φ')2 dx ,     φ' = dφ/dx .
Если спины вращаются в плоскости перпендикулярной к x их удобно представить в виде эластичной ленты. Из условия минимальности энергии δE = 0 следует
    ∂L /∂φ - (∂L /∂φ')' = 0   или   φ" = 0 ,   φ = a x .
Зафиксируем концы ленты в одном положении φo = φN = 0 (можно, также, свернуть цепочку спинов (ленту) в кольцо). Глобальному минимуму энергии E = 0 соответствует тривиальное решение φ(x) = 0 (т.е. плоская лента).
band Однако, как следует из рисунка, существуют также "перекрученные" n раз решения φ(x) = 2πn x/L которым соответствуют локальные минимумы с энергией En ~ n2.
Эти решения топологически не эквивалентны, т.к. гладкими деформациями нельзя перевести одно из них в другое.

Отображения окружности на окружность

Конфигурационное пространство спина (вектора), вращающегося в плоскости, топологически эквивалентно окружности Sn1 (она помечена нижним индексом n). Замкнутая одномерная цепочка спинов также эквивалентна окружности Sx1.
map Топологически не эквивалентные отображения Sx1 → Sn1 отличаются топологическим зарядом Q (или степенью отображения) который определяет сколько раз окружность Sx1 "наматывается" на Sn1.
map Чтобы вычислить Q можно проинтегрировать по всей цепочке изменение угла dφ(x) между близкими векторами s(x) и s(x+dx)
    Q = 1/ φ'(x) dx = Δφ/2π .
Заметим, что можно выразить также через площадь сектора, образованного этими векторами dφ = (s1 s2' - s1' s2 ) dx .

Отображения Sx2 → Sn1

Если на бесконечности поле nno = const , то двумерную плоскость можно дополнить бесконечно удаленной точкой и она становится топологически эквивалентной сфере Sx2. Но любое отображение сферы (воздушного шарика :) на окружность Sn1 всегда можно стянуть в точку. Поэтому в данном случае любое поле топологически эквивалентно тривиальному n(x) = no . Тоже справедливо для любого пространства с D > 1 .
XY

Вихри

Топологические "дефекты" на плоскости появляются, если мы окружим некоторую область контуром на котором циркуляция φ отлична от нуля. Тогда внутри этого контура обязательно будет существоать вихрь. В трехмерном пространстве на такой контур нужно натянуть поверхность и тогда ее будет обязательно пересекать вихревая линяя.

Отображение кольца на сферу

band band
Для "непрерывной" XY-цепочку с Q ≠ 0 невозможно гладко перевести все синие стрелки вверх вращая спины в плоскости рисунка. Однако это можно сделать вращая стрелки вокруг оси x (в пространстве), т.е. для модели Гейзенберга. Поэтому у Гейзенберговского кольца нет топологических возбуждений. Это утверждение эквивалентно тому, что любое отображение окружности на сферу (т.е. призвольный замкнутый контур на ней) всегда можно стянуть в точку.
Однако метастабильные состояния появляются у Гейзенберговских спинов на двумерной плоскости.

Дополнение: Непрерывный предел

Как мы видели, в непрерывном пределе энергия взаимодействия пары соседних спинов равна J/2 δφ2. Если ρ - число спинов на единице длины цепочки, то расстояние между соседями 1/ρ, а угол между ними δφ = 1/ρ dφ/dx. Поэтому энергия отрезка Δx равна J/2 (1/ρ φ')2ρΔx и если положить J = ρ = 1 , то полная энергия цепочки
    E = 1/2 (φ')2 dx .
Нетрудно убедиться, что если окружность задана в полярных координатах, т.е. s = (s1 , s2 ) = (cos φ , sin φ ), то квадрат длины dl2 на ней
    dl2 = ds12 + ds22 = dφ2 .
Т.о. δφ2 можно выразить через δs12 + δs22 и записать энергию в виде
    E = 1/2 (ss') dx .
Это выражение справедливо и для энергии Гейзенберговского магнетика, когда s = (s1 , s2 , s3 ). Обобщением выражения для энергии в XY модели на плоскости (x, y) будет
    E = 1/2 dx dy (φx2 + φy2 ) ,     φx= ∂φ /∂x .
И энергия Гейзенберговского ферромагнетика на двумерной плоскости равна
    E = 1/2 dx dy (sx· sx + sy· sy ) ,     sx= ∂s /∂x .
В стереографических координатх (u, v) метрика на сфере
    dl2 = 4 (du2 + dv2) / (1 + u2 + v2)2,
поэтому
    E = 2 dx dy (ux2 + vx2 + uy2 + vy2) / (1 + u 2 + v 2)2.
Содержание     Вихри в XY модели     Топологические солитоны в Гейзенберовском ферромагнетике
изменено 5 июня 2004